Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{x + y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $x + y$ por $1$ .

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4.2.2

Combina los términos opuestos en $x + y - x - x y'$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4.4

Factoriza $- 1$ de $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4.5

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4.6

Factoriza $- 1$ de $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4.7

Reescribe $- (x y' - y)$ como $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por ${(x + y)}^{2}$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(x + y)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ al numerador.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Paso 5.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- - y$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

Paso 5.2.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

Paso 5.2.1.4

Mueve $x$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Reescribe $- 1 y'$ como $- y'$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

Paso 5.3.2

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Suma $y' x$ a ambos lados de la ecuación.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

Paso 5.3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.2.1

Reescribe ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

Paso 5.3.2.2.2

Expande $(x + y) (x + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

Paso 5.3.2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

Paso 5.3.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Paso 5.3.2.2.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.2.2.3.2

Suma $x y$ y $y x$ .

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Paso 5.3.2.2.3.2.1

Reordena $y$ y $x$ .

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.2.2.3.2.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.2.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.2.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y'$ de $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y'$ de $2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $y'$ de $y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $y'$ de $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.3.6

Factoriza $y'$ de $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $y'$ de $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ por $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ por $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Paso 5.3.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$