Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{2} (x + 1))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} (x + 1)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

Paso 3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4

Combina los términos.

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Paso 4.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.4.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

Paso 4.4.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

Paso 4.4.8

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

Paso 4.5

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

Paso 4.6

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + x^{2}$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

Paso 4.6.2

Multiplica por $1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

Paso 4.6.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ .

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

Paso 4.7

Multiplica $3 x^{2} + 2 x$ por $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Paso 4.8

Factoriza $x$ de $3 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 4.8.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

Paso 4.8.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

Paso 4.8.3

Factoriza $x$ de $x (3 x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

Paso 4.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Paso 4.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

Paso 4.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$