Cálculo Ejemplos

$x^{2} = e^{x - y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x = e^{x - y} (1 - y')$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ .

$e^{x - y} (1 - y') = 2 x$

Paso 5.2

Divide cada término en $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ por $e^{x - y}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $e^{x - y} (1 - y') = 2 x$ por $e^{x - y}$ .

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{x - y}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x - y} (1 - y')}{e^{x - y}} = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $1 - y'$ por $1$ .

$1 - y' = \frac{2 x}{e^{x - y}}$

Paso 5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $- y' = \frac{2 x}{e^{x - y}} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y'}{1} = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.4.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{2 x}{e^{x - y}}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{2 x}{e^{x - y}}$ como $- \frac{2 x}{e^{x - y}}$ .

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.4.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y' = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{e^{x - y}} + 1$