Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2}{\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}$ como ${(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}$ .

$y = \frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$

Paso 4.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ como ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}]$

Paso 4.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6} \cdot - 1}]$

Paso 4.1.2.2.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{6}}]$

Paso 4.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{6}}$ y $g (x) = 5 x^{2} - 1$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x^{2} - 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{6}$ .

$2 (- \frac{1}{6} u^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2} - 1$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{6}{6}$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.6.2

Resta $6$ de $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.8

Combina ${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ y $\frac{1}{6}$ .

$2 (- \frac{{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.9.1

Mueve ${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.9.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Paso 4.11

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Paso 4.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.12.1

Factoriza $2$ de $6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Paso 4.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Paso 4.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Paso 4.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Paso 4.14

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.15

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.17

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 4.18

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + 0)$

Paso 4.19

Combina fracciones.

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Paso 4.19.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x)$

Paso 4.19.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- 10 \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

Paso 4.19.3

Combina $- 10$ y $\frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

Paso 4.19.4

Combina $\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ y $x$ .

$\frac{- 10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Paso 4.19.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$