Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}}$ como $\frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}}$ .

$\int \frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{x^{3} (\ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Entonces $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $2 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{4}]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Paso 3.1.5

Suma $0$ y $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Paso 4.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 7

Sea $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , de modo que $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Paso 7.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Paso 10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 + x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (2 + x^{4}) + C$