Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ como $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe $x^{3} + 3 x^{2}$ como $x^{2} (x + 3)$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Paso 1.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9

Combina fracciones.

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Paso 1.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9.3

Mueve ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.9.4

Combina $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.12

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.13

Simplifica la expresión.

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Paso 1.13.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.13.2

Multiplica $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.15

Multiplica ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.16

Para escribir ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.17

Combina ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.19

Multiplica ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.19.1

Mueve ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.19.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.19.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.20

Simplifica ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.21

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22

Simplifica.

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Paso 1.22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.22.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22.2.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22.3

Factoriza $3$ de $3 x + 6$ .

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Paso 1.22.3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.22.3.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Paso 2.5.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Paso 2.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.11.3

Mueve ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Paso 2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

Paso 2.14

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 3}$

Paso 2.15

Combina fracciones.

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Paso 2.15.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

Paso 2.15.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

Paso 2.15.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Paso 2.16

Simplifica.

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Paso 2.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

Paso 2.16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

Paso 2.16.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.16.4.1

Factoriza $3$ de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 2.16.4.1.1

Factoriza $3$ de $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.1.2

Factoriza $3$ de $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.2

Sea $u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.16.4.2.2.1

Mueve $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.2.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.4

Simplifica.

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Paso 2.16.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.16.4.4.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.4.4.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.4.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.16.4.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.4.1.2

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.4.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.4.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.4.4.3

Resta $2$ de $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.5

Combina los términos.

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Paso 2.16.5.1

Combina $3$ y $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Paso 2.16.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

Paso 2.16.5.3

Reescribe $\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

Paso 2.16.5.4

Multiplica $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x + 6}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

Paso 2.16.6

Simplifica el denominador.

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Paso 2.16.6.1

Factoriza $2$ de $2 x + 6$ .

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Paso 2.16.6.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

Paso 2.16.6.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

Paso 2.16.6.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 3))}$

Paso 2.16.6.2

Combina exponentes.

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Paso 2.16.6.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

Paso 2.16.6.2.2

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 ((x + 3) {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.16.6.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.16.6.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.16.6.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 2.16.6.2.6

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ como $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Reescribe $x^{3} + 3 x^{2}$ como $x^{2} (x + 3)$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Paso 4.1.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Paso 4.1.1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Paso 4.1.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Paso 4.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.3

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 4.1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.9

Combina fracciones.

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Paso 4.1.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.9.3

Mueve ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.9.4

Combina $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.12

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.13

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.13.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.13.2

Multiplica $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 4.1.15

Multiplica ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.1.16

Para escribir ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.17

Combina ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.19

Multiplica ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.19.1

Mueve ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.19.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.19.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.20

Simplifica ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.21

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22

Simplifica.

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Paso 4.1.22.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.22.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22.2.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22.3

Factoriza $3$ de $3 x + 6$ .

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Paso 4.1.22.3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.22.3.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 (x + 2) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 (x + 2) = 0$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Divide cada término en $3 (x + 2) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.3.1.2.1.2

Divide $x + 2$ por $1$ .

$x + 2 = \frac{0}{3}$

Paso 5.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$x + 2 = 0$

Paso 5.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Paso 6.3.2.2.1.6

Multiplica $4$ por $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 12$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en $4 x = - 12$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en $4 x = - 12$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Paso 6.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.3.1

Divide $- 12$ por $4$ .

$x = - 3$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt{x + 3}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 3 < 0$

Paso 6.5

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < - 3$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 2, - 3$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3 ((- 2) + 4)}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Factoriza $2$ de $3 ((- 2) + 4)$ .

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.1

Factoriza $2$ de $4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (- 1 + 2)}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.3

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.4

Simplifica el denominador.

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Paso 9.4.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}$

Paso 9.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5

Simplifica.

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Paso 9.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Paso 9.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 10

$x = - 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 2$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

Paso 11.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

Paso 11.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 12}$

Paso 11.2.4

Suma $- 8$ y $12$ .

$f (- 2) = \sqrt{4}$

Paso 11.2.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

Paso 11.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 2) = 2$

Paso 11.2.7

La respuesta final es $2$ .

$y = 2$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 3$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 {((- 3) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{3}}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0}$

Paso 13.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

Paso 13.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 15