Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{9 x} \cos (x)$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 x}$ como ${(9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 (x))}^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Paso 4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1

Aplica la regla del producto a $9 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Paso 4.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Paso 4.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [3^{1} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Paso 4.4

Evalúa el exponente.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Paso 4.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

Paso 4.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.7

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 4.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.12

Simplifica el numerador.

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Paso 4.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 4.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 4.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 4.14

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 4.15

Combina $\cos (x)$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 4.16

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.17

Simplifica.

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Paso 4.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.17.2

Combina los términos.

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Paso 4.17.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (\sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.17.2.2

Combina $3$ y $\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$