Cálculo Ejemplos

$\int \frac{{(2 x^{3} + 3 x)}^{2}}{x^{2}} d x$

Paso 1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2} d x$

Paso 3

Expande ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2}$ .

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Paso 3.1

Reescribe ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2}$ como $(2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\int (2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x) x^{- 2} d x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3} + 3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

Paso 3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x)) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

Paso 3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Paso 3.8

Mueve $x^{3}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Paso 3.9

Mueve $x^{3}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Paso 3.10

Mueve $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Paso 3.11

Mueve $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.12

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 4 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{3 + 3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.14

Suma $3$ y $3$ .

$\int 4 x^{6} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{6 - 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.16

Resta $2$ de $6$ .

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.17

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.18

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 (x^{3} x^{1}) x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3 + 1} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.20

Suma $3$ y $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.22

Resta $2$ de $4$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.23

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.24

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 (x^{1} x^{3}) x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{1 + 3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.26

Suma $1$ y $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.27

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.28

Resta $2$ de $4$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.29

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Paso 3.30

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x) x^{- 2} d x$

Paso 3.31

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

Paso 3.32

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

Paso 3.33

Suma $1$ y $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2} x^{- 2} d x$

Paso 3.34

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2 - 2} d x$

Paso 3.35

Resta $2$ de $2$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{0} d x$

Paso 3.36

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 \cdot 1 d x$

Paso 3.37

Multiplica $9$ por $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 d x$

Paso 3.38

Suma $6 x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$\int 4 x^{4} + 12 x^{2} + 9 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

Paso 5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

Paso 7

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int 9 d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 9 d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

Paso 10.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 9 x + C$

Paso 10.2

Simplifica.

$\frac{4 x^{5}}{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$

Paso 10.3

Reordena los términos.

$\frac{4}{5} x^{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$