Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (x^{- 3} - 5) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} - 5 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 3} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + \int_{\frac{1}{2}}^{1} - 5 d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1} + - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{\frac{1}{2}}^{1}$ y $- 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x]_{\frac{1}{2}}^{1}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $- \frac{1}{2} x^{- 2} - 5 x$ en $1$ y en $\frac{1}{2}$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2} - 5 \cdot 1) - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot 1 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} - 5 - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.4

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.5

Combina $- 5$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 - 5 \cdot 2}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.7.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{- 1 - 10}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.7.2

Resta $10$ de $- 1$ .

$\frac{- 11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.9

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{11}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 4 - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.11

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- \frac{11}{2} - (- 4 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.12

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 4}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.13

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 5.2.2.13.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.13.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{11}{2} - (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2}{1} - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.13.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 - 5 (\frac{1}{2}))$

Paso 5.2.2.14

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 + \frac{- 5}{2})$

Paso 5.2.2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{2} - (- 2 - \frac{5}{2})$

Paso 5.2.2.16

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})$

Paso 5.2.2.17

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{11}{2} - (\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})$

Paso 5.2.2.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{11}{2} - \frac{- 2 \cdot 2 - 5}{2}$

Paso 5.2.2.19

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.19.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- \frac{11}{2} - \frac{- 4 - 5}{2}$

Paso 5.2.2.19.2

Resta $5$ de $- 4$ .

$- \frac{11}{2} - \frac{- 9}{2}$

Paso 5.2.2.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{2} - - \frac{9}{2}$

Paso 5.2.2.21

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{11}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Paso 5.2.2.22

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$- \frac{11}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 5.2.2.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 11 + 9}{2}$

Paso 5.2.2.24

Suma $- 11$ y $9$ .

$\frac{- 2}{2}$

Paso 5.2.2.25

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.2.2.25.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Paso 5.2.2.25.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.25.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 5.2.2.25.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.2.25.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 5.2.2.25.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6