Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{x^{3}} \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = \sqrt{x^{3}}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \int \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $x^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int \frac{x^{\frac{5}{2}}}{x} d x)$

Paso 4.2

Mueve $x^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2}} x^{- 1} d x)$

Paso 4.3

Multiplica $x^{\frac{5}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} - 1} d x)$

Paso 4.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

Paso 4.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{5 - 2}{2}} d x)$

Paso 4.3.5.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - (\frac{2}{5} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} - \frac{2}{5} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{2 \ln (x)}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 6.2.3

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 6.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4}{5 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 6.2.5

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4}{25} x^{\frac{5}{2}} + C$

$\frac{2}{5} \ln (x) x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{25} x^{\frac{5}{2}} + C$