Cálculo Ejemplos

${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 6.2

Combina ${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 6.3

Mueve ${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Paso 9

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Paso 10

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Paso 11

Como $z^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $z^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Paso 12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 12.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 12.4

Combina $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12.5

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$