Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 5.2

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 7.2.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$