Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

Paso 1

Calcula la derivada de $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Paso 4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

Paso 5

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sin (8 x)$ .

$\frac{\sin (8 x)}{x}$