Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Entonces $d u_{2} = - \tan (x) d x$ , de modo que $- d u_{2} = \tan (x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Reordena los factores de $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

Paso 1.1.5.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Paso 1.1.5.3

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 1.1.5.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 5

Simplifica.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (\cos (x))$ .

$- \ln (| \ln (\cos (x)) |) + C$