Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x + 3}{4 x + 4} d x$

Paso 1

Divide $x + 3$ por $4 x + 4$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x$

$4$

$x$

$3$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			+	$x$	+	$1$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$
					+	$2$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int \frac{1}{4} + \frac{2}{4 x + 4} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2}{4 x + 4} d x$

Paso 3

Cancela el factor común de $2$ y $4 x + 4$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{4 x + 4} d x$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x) + 4} d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x) + 2 \cdot 2} d x$

Paso 3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (2)$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x + 2)} d x$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x + 2)} d x$

Paso 3.2.5

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x + 2$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 2$ .

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$