Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} - x \ln (x)$

Paso 1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Paso 2

Reescribe $x \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Paso 3.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x)$ disminuye sin cota.

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Paso 3.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca al infinito.

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 3.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

Paso 3.3.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}$

Paso 3.5

Combina $\frac{1}{x}$ y $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

Paso 3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Paso 3.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Paso 3.6.2.3

Cancela el factor común.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Paso 3.6.2.4

Reescribe la expresión.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

Paso 3.6.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - x$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$1 lim_{x \to 0^{+}} x$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 0$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$