Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 5})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - 2 x^{2}$ y $g (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 2 (2 x)) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.11

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.12

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.12.1

Suma $4 x$ y $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - (1 - 2 x^{2}) (4 x)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.2.12.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5) (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 (1 - 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- 2 x^{2})) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} (- 4 x) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cdot - 4 x^{2} x - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \cdot - 4 x^{1 + 2} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot - 4 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 x^{3} - 5 (- 4 x) - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 \cdot 1 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{2}) x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.1.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x \cdot x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 (x^{1} x^{2}))}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{1 + 2})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x - 4 (- 2 x^{3})}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.1.7

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.2

Combina los términos opuestos en $- 8 x^{3} + 20 x - 4 x + 8 x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.4.2.1

Suma $- 8 x^{3}$ y $8 x^{3}$ .

$\frac{20 x - 4 x + 0}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.2.2

Suma $20 x - 4 x$ y $0$ .

$\frac{20 x - 4 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 3.3.4.3

Resta $4 x$ de $20 x$ .

$\frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$