Cálculo Ejemplos

$x^{4} + 4 y = 8 x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 4 y) = \frac{d}{d x} (8 x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 4 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x^{3} + 4 y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x y$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$8 (x y' + y)$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x y' + 8 y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 x^{3} + 4 y' = 8 x y' + 8 y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $8 x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} + 4 y' - 8 x y' = 8 y$

Paso 5.2

Resta $4 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y' - 8 x y' = 8 y - 4 x^{3}$

Paso 5.3

Factoriza $4 y'$ de $4 y' - 8 x y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $4 y'$ de $4 y'$ .

$4 y' \cdot 1 - 8 x y' = 8 y - 4 x^{3}$

Paso 5.3.2

Factoriza $4 y'$ de $- 8 x y'$ .

$4 y' \cdot 1 + 4 y' (- 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$

Paso 5.3.3

Factoriza $4 y'$ de $4 y' \cdot 1 + 4 y' (- 2 x)$ .

$4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$

Paso 5.4

Divide cada término en $4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$ por $4 (1 - 2 x)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$ por $4 (1 - 2 x)$ .

$\frac{4 y' (1 - 2 x)}{4 (1 - 2 x)} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y' (1 - 2 x)}{4 (1 - 2 x)} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $1 - 2 x$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $8 y$ .

$y' = \frac{4 (2 y)}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 (2 y)}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1 - 2 x)}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{- x^{3}}{1 - 2 x}$

Paso 5.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} - \frac{x^{3}}{1 - 2 x}$

Paso 5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 y - x^{3}}{1 - 2 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{3}}{1 - 2 x}$