Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Paso 2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Paso 3

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.1.3

Diferencia.

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Paso 3.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 3.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Paso 3.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Paso 3.6

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $- \frac{u_{2}}{2}$ en $e^{- t^{2}}$ y en $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Paso 6.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ como un producto.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Paso 6.2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Evalúa el límite.

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Paso 7.1.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

Paso 7.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Paso 7.1.3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Paso 7.2

Como el exponente $- t^{2}$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- t^{2}}$ se acerca a $0$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Paso 7.3

Evalúa el límite.

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Paso 7.3.1

Evalúa el límite de $\frac{1}{2 e}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

Paso 7.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 7.3.2.1.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

Paso 7.3.2.1.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

Paso 7.3.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{2 e}$ .

$4 \frac{1}{2 e}$

Paso 7.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

Paso 7.3.2.3.2

Factoriza $2$ de $2 e$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

Paso 7.3.2.3.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

Paso 7.3.2.3.4

Reescribe la expresión.

$2 \frac{1}{e}$

Paso 7.3.2.4

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{e}$

Forma decimal:

$0.73575888 \dots$