Cálculo Ejemplos

$- 2 x^{2} + 1 + x y^{2} = - 2 y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1 + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{2} + 1 + x y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$- 4 x + 0 + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 4 x + 0 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 x + 0 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Paso 2.4.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Paso 2.4.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 x y y' + y^{2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$- 4 x + 2 x y y' + y^{2}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 6 y^{2} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x = - 6 y^{2} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $6 y^{2} y'$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x + 6 y^{2} y' = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' - 4 x + 6 y^{2} y' = - y^{2}$

Paso 5.2.2

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' + 6 y^{2} y' = - y^{2} + 4 x$

Paso 5.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 x y y' + 6 y^{2} y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2 y y'$ de $2 x y y'$ .

$2 y y' x + 6 y^{2} y' = - y^{2} + 4 x$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 y y'$ de $6 y^{2} y'$ .

$2 y y' x + 2 y y' (3 y) = - y^{2} + 4 x$

Paso 5.3.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' x + 2 y y' (3 y)$ .

$2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$ por $2 y (x + 3 y)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$ por $2 y (x + 3 y)$ .

$\frac{2 y y' (x + 3 y)}{2 y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y' (x + 3 y)}{2 y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (x + 3 y)}{y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (x + 3 y)}{y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común de $x + 3 y$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y)}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $2 y (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 (x + 3 y))} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 (x + 3 y))} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{2 (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.4.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 y (x + 3 y)}$

Paso 5.4.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (x + 3 y)$ .

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 (y (x + 3 y))}$

Paso 5.4.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 (y (x + 3 y))}$

Paso 5.4.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 x}{y (x + 3 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 x}{y (x + 3 y)}$