Cálculo Ejemplos

$y - 2 x y = 3 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y - 2 x y) = \frac{d}{d x} (3 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$y' - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y' - 2 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$y' - 2 (x y' + y)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' - 2 (x y') - 2 y$

Paso 2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' - 2 x y' - 2 y$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- 2 x y' - 2 y + y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 x y' - 2 y + y' = 3$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x y' + y' = 3 + 2 y$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- 2 x y' + y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- 2 x y'$ .

$y' (- 2 x) + y' = 3 + 2 y$

Paso 5.2.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (- 2 x) + y' = 3 + 2 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 2 x) + y' \cdot 1 = 3 + 2 y$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 2 x + 1) = 3 + 2 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- 2 x + 1) = 3 + 2 y$ por $- 2 x + 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- 2 x + 1) = 3 + 2 y$ por $- 2 x + 1$ .

$\frac{y' (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1} = \frac{3}{- 2 x + 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2 x + 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1} = \frac{3}{- 2 x + 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3}{- 2 x + 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{3 + 2 y}{- 2 x + 1}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{3 + 2 y}{- (2 x) + 1}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 + 2 y}{- (2 x) - 1 (- 1)}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 + 2 y}{- (2 x - 1)}$

Paso 5.3.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$y' = \frac{3 + 2 y}{- 1 (2 x - 1)}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 + 2 y}{2 x - 1}$