Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt[5]{x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - lim_{x \to 7} 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$\frac{\sqrt[5]{lim_{x \to 7} x + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $7$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[5]{7 + 25} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Suma $7$ y $25$ .

$\frac{\sqrt[5]{32} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{\sqrt[5]{2^{5}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $7$ para $x$ .

$\frac{0}{7 - 1 \cdot 7}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{0}{7 - 7}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $7$ de $7$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt[5]{x + 25} - 2}{x - 7} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[5]{x + 25} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x + 25}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x + 25}$ como ${(x + 25)}^{\frac{1}{5}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ y $g (x) = x + 25$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 25$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 25$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [25]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{1 - 5}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $5$ de $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{\frac{- 4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5} {(x + 25)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $\frac{1}{5}$ y ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.13

Multiplica $\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ por $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{{(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.3.14

Mueve ${(x + 25)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.5

Suma $\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Paso 1.3.8

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{5 {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 7} \frac{1}{{(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} {(x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $\frac{4}{5}$ de ${(x + 25)}^{\frac{4}{5}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $7$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $x$ se acerca a $7$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 7} x + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $7$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 4.2

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{5 {(7 + 25)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1

Suma $7$ y $25$ .

$\frac{1}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

Paso 4.3.2

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 4.3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5 \cdot 2^{4}}$

Paso 4.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{5 \cdot 16}$

Paso 4.4

Multiplica $5$ por $16$ .

$\frac{1}{80}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{80}$

Forma decimal:

$0.0125$