Cálculo Ejemplos

${(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = 2 x - 8$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 8$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.6

Combina fracciones.

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Paso 1.1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.6.3

Mueve ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Paso 1.1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 1.1.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 1.1.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 1.1.11

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + 0)$

Paso 1.1.12

Combina fracciones.

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Paso 1.1.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 2$

Paso 1.1.12.2

Combina $\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.12.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 = 0$

Paso 2.3

Como $4 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(2 x - 8)}^{1}}}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{2 x - 8} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{2 x - 8})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2 x - 8}$ como ${(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(2 x - 8)}^{1} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 (2 x - 8) = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$27 (2 x) + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.6

Multiplica.

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Paso 3.3.2.2.1.6.1

Multiplica $2$ por $27$ .

$54 x + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.6.2

Multiplica $27$ por $- 8$ .

$54 x - 216 = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$54 x - 216 = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Suma $216$ a ambos lados de la ecuación.

$54 x = 216$

Paso 3.3.3.2

Divide cada término en $54 x = 216$ por $54$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.2.1

Divide cada término en $54 x = 216$ por $54$ .

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

Paso 3.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $54$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

Paso 3.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{216}{54}$

Paso 3.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.3.1

Divide $216$ por $54$ .

$x = 4$

Paso 4

Evalúa ${(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

${(2 (4) - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

${(8 - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.1.2

Resta $8$ de $8$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.1.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$0^{2}$

Paso 4.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(4, 0)$

Paso 5