Cálculo Ejemplos

$\int \ln (1 + x^{2}) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (1 + x^{2})$ y $d v = 1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (1 + x^{2}) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Divide $x^{2}$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Paso 5.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Paso 9.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

Paso 11

Simplifica.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$