Cálculo Ejemplos

$y = \sin (6 x) \cos^{2} (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (6 x) \cos^{2} (x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (6 x)$ y $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$\sin (6 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\sin (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\sin (6 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$\sin (6 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (6 x)$ .

$2 \cdot \sin (6 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 3.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \sin (6 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $6 x$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 3.6.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Paso 3.7

Diferencia.

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Paso 3.7.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

Paso 3.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.3.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) \cdot 6$

Paso 3.7.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $\cos^{2} (x) \cos (6 x)$ .

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + 6 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (6 x))$

Paso 3.7.3.3

Reordena los términos.

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$