Cálculo Ejemplos

$x \sin (2 x)$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Paso 9

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ como $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Paso 10.2.2

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 12

Reordena los factores en $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$