Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 5

Sea $u = 4 x - 6$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 4 x - 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $4 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 10

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 12.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Paso 12.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Paso 12.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Paso 12.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Paso 12.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 6$ .

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$