Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 5 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 5 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int 5 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{5 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{5 \cdot 1 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.4.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$\int \frac{5 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.4.3

Resta $3$ de $5$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Reordena $1$ y $x^{2}$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Paso 5

Divide $5 x^{2} + 2$ por $x^{2} + 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$5$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{2} + 0 + 5$ .

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$3$

Paso 5.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 5 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 5 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$5 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Paso 9

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$5 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Paso 10.2

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Paso 10.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C$ .

$5 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$5 x - 3 \arctan (x) + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $5 x - 3 \arctan (x) + C$