Cálculo Ejemplos

$\int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{3 x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = \frac{2}{x}$ . Entonces $d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ , de modo que $1 d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \frac{2}{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.1.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Paso 2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Paso 2.1.6

Simplifica.

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Paso 2.1.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.1.6.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.6.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 2.1.6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Paso 6

Simplifica.

$- \frac{1}{6} e^{u} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{1}{6} e^{\frac{2}{x}} + C$