Cálculo Ejemplos

$- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$

Paso 1

Escribe $- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ como una función.

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{6} x^{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $- 6$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2.5

Combina $\frac{- 6}{6}$ y $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Factoriza $6$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.6.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.4

Divide $- x^{5}$ por $1$ .

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x^{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- x^{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- \frac{5}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{3} x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} - \frac{5}{3} (4 x^{3})$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} - 4 (\frac{5}{3}) x^{3}$

Paso 2.1.4.4

Combina $- 4$ y $\frac{5}{3}$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3}$

Paso 2.1.4.5

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{- 20}{3} x^{3}$

Paso 2.1.4.6

Combina $\frac{- 20}{3}$ y $x^{3}$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{- 20 x^{3}}{3}$

Paso 2.1.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - x^{5} - 5 x^{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{5} - 5 x^{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Paso 2.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

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Paso 2.2.4.1

Como $- \frac{20}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{20 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Paso 2.2.4.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Paso 2.2.4.4

Combina $- 3$ y $\frac{20}{3}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Paso 2.2.4.5

Multiplica $- 3$ por $20$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Paso 2.2.4.6

Combina $\frac{- 60}{3}$ y $x^{2}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Paso 2.2.4.7

Cancela el factor común de $- 60$ y $3$ .

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Paso 2.2.4.7.1

Factoriza $3$ de $- 60 x^{2}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Paso 2.2.4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Paso 2.2.4.7.2.2

Cancela el factor común.

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Paso 2.2.4.7.2.4

Divide $- 20 x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{4}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 20 x^{3} - 20 x^{2} = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $- 5 x^{2}$ de $- 20 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) - 20 x^{2} = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $- 5 x^{2}$ de $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) - 5 x^{2} \cdot 4 = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{2} (x^{2}) - 5 x^{2} (4 x)$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} \cdot 4 = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0$

Paso 3.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 3.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$- 5 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 3.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.5.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 5 x^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{6}$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 (\frac{5}{3})$

Paso 4.1.2.1.6.2

Multiplica $0$ por $\frac{5}{3}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- 2$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 2)}^{6} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $6$ .

$f (- 2) = - \frac{1}{6} \cdot 64 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{6}$ al numerador.

$f (- 2) = \frac{- 1}{6} \cdot 64 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 64 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $64$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$f (- 2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = \frac{- 1}{3} \cdot 32 - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.3

Combina $\frac{- 1}{3}$ y $32$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 32}{3} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$f (- 2) = \frac{- 32}{3} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{32}{3} - {(- 2)}^{5} - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.6

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 32$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{5}{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.8

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{5}{3} \cdot 16$

Paso 4.3.2.1.9

Multiplica $- \frac{5}{3} \cdot 16$ .

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Paso 4.3.2.1.9.1

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - 16 (\frac{5}{3})$

Paso 4.3.2.1.9.2

Combina $- 16$ y $\frac{5}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 + \frac{- 16 \cdot 5}{3}$

Paso 4.3.2.1.9.3

Multiplica $- 16$ por $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 + \frac{- 80}{3}$

Paso 4.3.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{32}{3} + 32 - \frac{80}{3}$

Paso 4.3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 4.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = 32 + \frac{- 32 - 80}{3}$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Resta $80$ de $- 32$ .

$f (- 2) = 32 + \frac{- 112}{3}$

Paso 4.3.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = 32 - \frac{112}{3}$

Paso 4.3.2.3

Para escribir $32$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = 32 \cdot \frac{3}{3} - \frac{112}{3}$

Paso 4.3.2.4

Combina $32$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{112}{3}$

Paso 4.3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{32 \cdot 3 - 112}{3}$

Paso 4.3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.6.1

Multiplica $32$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{96 - 112}{3}$

Paso 4.3.2.6.2

Resta $112$ de $96$ .

$f (- 2) = \frac{- 16}{3}$

Paso 4.3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{16}{3}$

Paso 4.3.2.8

La respuesta final es $- \frac{16}{3}$ .

$- \frac{16}{3}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} - \frac{5}{3} x^{4}$ es $(- 2, - \frac{16}{3})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, - \frac{16}{3})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 2, - \frac{16}{3})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = - 5 {(- 2.1)}^{4} - 20 {(- 2.1)}^{3} - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 2.1) = - 5 \cdot 19.4481 - 20 {(- 2.1)}^{3} - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $19.4481$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 - 20 {(- 2.1)}^{3} - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 - 20 \cdot - 9.261 - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $- 9.261$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 + 185.22 - 20 {(- 2.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 + 185.22 - 20 \cdot 4.41$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 20$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = - 97.2405 + 185.22 - 88.2$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 97.2405$ y $185.22$ .

$f'' (- 2.1) = 87.9795 - 88.2$

Paso 6.2.2.2

Resta $88.2$ de $87.9795$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.2205$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.2205$ .

$- 0.2205$

Paso 6.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $- 0.2205$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f'' (- 1) = - 5 {(- 1)}^{4} - 20 {(- 1)}^{3} - 20 {(- 1)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1) = - 5 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{3} - 20 {(- 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$f'' (- 1) = - 5 - 20 {(- 1)}^{3} - 20 {(- 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1) = - 5 - 20 \cdot - 1 - 20 {(- 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 5 + 20 - 20 {(- 1)}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1) = - 5 + 20 - 20 \cdot 1$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$f'' (- 1) = - 5 + 20 - 20$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 5$ y $20$ .

$f'' (- 1) = 15 - 20$

Paso 7.2.2.2

Resta $20$ de $15$ .

$f'' (- 1) = - 5$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 7.3

En $- 1$ , la segunda derivada es $- 5$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = - 5 {(0.1)}^{4} - 20 {(0.1)}^{3} - 20 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.1) = - 5 \cdot 0.0001 - 20 {(0.1)}^{3} - 20 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 20 {(0.1)}^{3} - 20 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 20 \cdot 0.001 - 20 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.02 - 20 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.02 - 20 \cdot 0.01$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $- 20$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.02 - 0.2$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 8.2.2.1

Resta $0.02$ de $- 0.0005$ .

$f'' (0.1) = - 0.0205 - 0.2$

Paso 8.2.2.2

Resta $0.2$ de $- 0.0205$ .

$f'' (0.1) = - 0.2205$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 0.2205$ .

$- 0.2205$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $- 0.2205$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. No hay puntos en la gráfica que satisfagan estos requisitos.

No hay puntos de inflexión