Cálculo Ejemplos

$- y^{2} - y = 2 x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- y^{2} - y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y^{2} - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 y y' - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 y y' - y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y y' - y' = 6 x^{2}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Factoriza $y'$ de $- 2 y y' - y'$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) - y' = 6 x^{2}$

Paso 5.1.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot - 1 = 6 x^{2}$

Paso 5.1.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 y - 1) = 6 x^{2}$

Paso 5.2

Divide cada término en $y' (- 2 y - 1) = 6 x^{2}$ por $- 2 y - 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $y' (- 2 y - 1) = 6 x^{2}$ por $- 2 y - 1$ .

$\frac{y' (- 2 y - 1)}{- 2 y - 1} = \frac{6 x^{2}}{- 2 y - 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2 y - 1$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 y - 1)}{- 2 y - 1} = \frac{6 x^{2}}{- 2 y - 1}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 2 y - 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- (2 y) - 1}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- (2 y) - 1 (1)}$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- (2 y + 1)}$

Paso 5.2.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.2.3.4.1

Reescribe $- (2 y + 1)$ como $- 1 (2 y + 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (2 y + 1)}$

Paso 5.2.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{2 y + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2 y + 1}$