Cálculo Ejemplos

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Paso 1

Escribe $1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ como una función.

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Paso 6

Sea $u = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Deja $u = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 6.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

Paso 7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan^{2} (u)$ .

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

Paso 9

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (u)$ como $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Paso 12

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

Paso 13

Simplifica.

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$