Cálculo Ejemplos

$π \int_{0}^{1} (9 - 6 x + x^{2}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$π \int_{0}^{1} 9 - 6 x + x^{2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$π (\int_{0}^{1} 9 d x + \int_{0}^{1} - 6 x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$π (9 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 6 x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Paso 4

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $9 x]_{0}^{1}$ y $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ .

$π (9 x + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Paso 8.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$π (9 x + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $9 x + \frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$π ((9 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$π ((9 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $9$ por $1$ .

$π (9 + \frac{1^{3}}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$π (9 + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.3

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.4

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π (\frac{9 \cdot 3 + 1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.6.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$π (\frac{27 + 1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.6.2

Suma $27$ y $1$ .

$π (\frac{28}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.7

Multiplica $9$ por $0$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 8.2.3.9.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0}{1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + 0) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.10

Suma $0$ y $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 0 - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (\frac{28}{3} + 0 - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.12

Suma $\frac{28}{3}$ y $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Paso 8.2.3.14

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

Paso 8.2.3.15

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 8.2.3.15.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Paso 8.2.3.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.15.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Paso 8.2.3.15.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Paso 8.2.3.15.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

Paso 8.2.3.15.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 0))$

Paso 8.2.3.16

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} + 0))$

Paso 8.2.3.17

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2}))$

Paso 8.2.3.18

Combina $- 6$ y $\frac{1}{2}$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 6}{2})$

Paso 8.2.3.19

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 8.2.3.19.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2})$

Paso 8.2.3.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.19.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)})$

Paso 8.2.3.19.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1})$

Paso 8.2.3.19.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 3}{1})$

Paso 8.2.3.19.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$π (\frac{28}{3} - 3)$

Paso 8.2.3.20

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{28}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

Paso 8.2.3.21

Combina $- 3$ y $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

Paso 8.2.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π \frac{28 - 3 \cdot 3}{3}$

Paso 8.2.3.23

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.23.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$π \frac{28 - 9}{3}$

Paso 8.2.3.23.2

Resta $9$ de $28$ .

$π \frac{19}{3}$

Paso 8.2.3.24

Combina $π$ y $\frac{19}{3}$ .

$\frac{π \cdot 19}{3}$

Paso 8.2.3.25

Mueve $19$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{19 π}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{19 π}{3}$

Forma decimal:

$19.89675347 \dots$

Paso 10