Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{6 x + 2}{(x + 1) (2 x + 1)} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $6 x + 2$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x) + 2}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 x) + 2 (1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x + 1) (x + 1) (2 x + 1)}{(x + 1) (2 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.6.2

Divide $2 (3 x + 1)$ por $1$ .

$2 (3 x + 1) = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (3 x) + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.8

Multiplica.

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Paso 1.1.8.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x + 2 \cdot 1 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$6 x + 2 = \frac{(A) (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.1.9.1.1

Cancela el factor común.

$6 x + 2 = \frac{A (x + 1) (2 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.9.1.2

Divide $(A) (2 x + 1)$ por $1$ .

$6 x + 2 = (A) (2 x + 1) + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x + 2 = A (2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.9.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x + 2 = 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.9.4

Multiplica $A$ por $1$ .

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.9.5

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 1.1.9.5.1

Cancela el factor común.

$6 x + 2 = 2 A x + A + \frac{(B) (x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.1.9.5.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$6 x + 2 = 2 A x + A + (B) (x + 1)$

Paso 1.1.9.6

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B \cdot 1$

Paso 1.1.9.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$6 x + 2 = 2 A x + A + B x + B$

Paso 1.1.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.10.1

Mueve $A$ .

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

Paso 1.1.10.2

Reordena $B$ y $x$ .

$6 x + 2 = 2 x A + A + B x + B$

Paso 1.1.10.3

Mueve $A$ .

$6 x + 2 = 2 x A + B x + A + B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = 2 A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A + B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

$6 = 2 A + B$

$2 = A + B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $B$ en $6 = 2 A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $2 A + B = 6$ .

$2 A + B = 6$

$2 = A + B$

Paso 1.3.1.2

Resta $2 A$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $6 - 2 A$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $2 = A + B$ por $6 - 2 A$ .

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $2 = A + 6 - 2 A$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

$2 = A + 6 - 2 A$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.2.1

Resta $2 A$ de $A$ .

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

$2 = - A + 6$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.3

Resuelve $A$ en $2 = - A + 6$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- A + 6 = 2$ .

$- A + 6 = 2$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- A = 2 - 6$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $6$ de $2$ .

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

$- A = - 4$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- A = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- A = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- A}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.3.3.2.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

$A = \frac{- 4}{- 1}$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

$A = 4$

$B = 6 - 2 A$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $A$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $B = 6 - 2 A$ por $4$ .

$B = 6 - 2 \cdot 4$

$A = 4$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $6 - 2 \cdot 4$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$B = 6 - 8$

$A = 4$

Paso 1.3.4.2.1.2

Resta $8$ de $6$ .

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

$B = - 2$

$A = 4$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - 2, A = 4$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{2 x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{4}{x + 1} + \frac{- 2}{2 x + 1}$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} \frac{4}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 4.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$4 \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \int_{0}^{1} - \frac{2}{2 x + 1} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Paso 8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 9

Sea $u_{2} = 2 x + 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 9.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 9.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 9.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 9.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 9.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 9.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 9.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 9.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Paso 9.5

Simplifica.

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Paso 9.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Paso 9.5.2

Suma $2$ y $1$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 9.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Paso 9.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 10.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) + \frac{- 1}{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2}) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $\ln (| u_{1} |)$ en $2$ y en $1$ .

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{3})$

Paso 14.2

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $3$ y en $1$ .

$4 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 14.3

Elimina los paréntesis.

$4 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 15.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$4 \ln (\frac{2}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Paso 16.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$4 \ln (\frac{2}{1}) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Paso 16.3

Divide $2$ por $1$ .

$4 \ln (2) - \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Paso 16.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Paso 16.5

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$4 \ln (2) - \ln (\frac{3}{1})$

Paso 16.6

Divide $3$ por $1$ .

$4 \ln (2) - \ln (3)$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$4 \ln (2) - \ln (3)$

Forma decimal:

$1.67397643 \dots$

Paso 18