Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{4} x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} (5 x^{4})$

Paso 1.5.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - 5 (\frac{1}{4}) x^{4}$

Paso 1.5.4

Combina $- 5$ y $\frac{1}{4}$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5}{4} x^{4}$

Paso 1.5.5

Combina $\frac{- 5}{4}$ y $x^{4}$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5 x^{4}}{4}$

Paso 1.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{5 x^{4}}{4}$

Paso 1.6

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- \frac{5}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5 x^{4}}{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{5}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$\frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.6

Combina $\frac{- 20}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.7

Cancela el factor común de $- 20$ y $4$ .

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Paso 2.2.7.1

Factoriza $4$ de $- 20 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.7.2.4

Divide $- 5 x^{3}$ por $1$ .

$- 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 5 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + 0$

Paso 2.4.3

Suma $- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$