Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{12}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Paso 1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 9}} d x$

Paso 2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Paso 4.1.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| x |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Paso 4.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $arcsec (| x |)$ .

$12 (\frac{arcsec (| x |)}{3}]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{arcsec (| x |)}{3}$ en $2$ y en $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$12 (\frac{arcsec (| 2 |)}{3} - \frac{arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$12 \frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$12 \frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Paso 5.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ es aproximadamente $1.15470053$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})}{3}$

Paso 5.2.4

El valor exacto de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.3

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$12 \frac{\frac{π \cdot 2 - π}{6}}{3}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$12 \frac{\frac{2 \cdot π - π}{6}}{3}$

Paso 5.6.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$12 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$3 (4) \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 4 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Paso 5.7.3

Reescribe la expresión.

$4 \frac{π}{6}$

Paso 5.8

Combina $4$ y $\frac{π}{6}$ .

$\frac{4 π}{6}$

Paso 5.9

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 5.9.1

Factoriza $2$ de $4 π$ .

$\frac{2 (2 π)}{6}$

Paso 5.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.9.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Paso 5.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Paso 5.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 π}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 π}{3}$

Forma decimal:

$2.09439510 \dots$

Paso 7