Cálculo Ejemplos

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Entonces $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.1.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Suma $0$ y $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.1.4.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Paso 2.1.4.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Paso 2.1.4.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 6}$ con respecto a $u_{2}$ es $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica.

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Paso 4.1.1

Combina ${u_{2}}^{- 5}$ y $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

Paso 4.1.2

Mueve ${u_{2}}^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

Paso 4.2

Simplifica.

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Paso 4.3.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $5$ de $5 {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Paso 4.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 - \cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$