Cálculo Ejemplos

$\int x (3 x + 2) (x - 3) d x$

Paso 1

Sea $u = x - 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (u + 3) (3 (u + 3) + 2) u d u$

$\int (u + 3) (3 (u + 3) + 2) u d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u + 3) (3 u + 3 \cdot 3 + 2) u d u$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3 + 2) + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (3 u + 3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3 + 2)) u d u$

Paso 2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u + 3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2 + 3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Paso 2.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3) + u \cdot 2) u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Paso 2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (3 u) + u (3 \cdot 3)) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Paso 2.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3) + 3 \cdot 2) u d u$

Paso 2.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + (3 (3 u) + 3 (3 \cdot 3)) u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.11

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u (3 u) u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.12

Reordena $u$ y $3$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + u (3 \cdot 3) u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.13

Mueve $u$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 2 u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.14

Reordena $u$ y $2$ .

$\int 3 \cdot u \cdot u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 \cdot u \cdot u + 3 (3 u) u + 3 (3 \cdot 3) u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.15

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 (u^{1} u) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.16

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 (u^{1} u^{1}) u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 u^{1 + 1} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.18

Suma $1$ y $1$ .

$\int 3 u^{2} u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.19

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 (u^{2} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 u^{2 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.21

Suma $2$ y $1$ .

$\int 3 u^{3} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.22

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u \cdot u + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.23

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.24

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 (u^{1} u^{1}) + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 u^{3} + 9 u^{1 + 1} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.26

Suma $1$ y $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u \cdot u + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.27

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.28

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.29

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.30

Suma $1$ y $1$ .

$\int 3 u^{3} + 9 u^{2} + 2 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.31

Suma $9 u^{2}$ y $2 u^{2}$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 3 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.32

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u \cdot u + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.33

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.34

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.35

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{1 + 1} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.36

Suma $1$ y $1$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 3 \cdot 3 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.37

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 9 \cdot 3 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.38

Multiplica $9$ por $3$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 3 \cdot 2 u d u$

Paso 2.39

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 27 u + 6 u d u$

Paso 2.40

Suma $27 u$ y $6 u$ .

$\int 3 u^{3} + 11 u^{2} + 9 u^{2} + 33 u d u$

Paso 2.41

Suma $11 u^{2}$ y $9 u^{2}$ .

$\int 3 u^{3} + 20 u^{2} + 33 u d u$

$\int 3 u^{3} + 20 u^{2} + 33 u d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int u^{3} d u + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 20 u^{2} d u + \int 33 u d u$

Paso 6

Dado que $20$ es constante con respecto a $u$ , mueve $20$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 \int u^{2} d u + \int 33 u d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u$

Paso 8

Dado que $33$ es constante con respecto a $u$ , mueve $33$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 20 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + 33 \frac{u^{2}}{2} + C$

Paso 10.2.2

Combina $33$ y $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

$\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{20 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{4}}{4} + \frac{20 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$\frac{3}{4} {(x - 3)}^{4} + \frac{20}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$