Cálculo Ejemplos

$e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Paso 1

Escribe $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ como una función.

$f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.2.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.2.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.3.10

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x})$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

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Paso 2.1.4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- x$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

Paso 2.1.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

Paso 2.1.4.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 2.1.4.8

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = - e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 2.1.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = - e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 2.1.5.2.2

Suma $- e^{- x}$ y $2 e^{- x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 2.1.5.2.3

Suma $- 2 x e^{- x}$ y $e^{- x} (2 x)$ .

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Paso 2.1.5.2.3.1

Mueve $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Paso 2.1.5.2.3.2

Suma $- 2 x e^{- x}$ y $2 x e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

Paso 2.1.5.2.4

Suma $e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ y $0$ .

$f' (x) = e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

Paso 2.1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

Paso 2.1.5.4

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Paso 2.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 2.2.3.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 2.2.3.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Paso 2.2.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Paso 2.2.4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Paso 2.2.4.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Paso 2.2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Paso 2.2.4.4

Reordena los factores en $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $e^{- x}$ de $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- 2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) - e^{- x} = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x)$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Paso 3.2.5

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $x^{2} - 2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x^{2} - 2 x - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Paso 3.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1 + \sqrt{2}$ en $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1 + \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- (1 + \sqrt{2})} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.8

Reescribe ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.9

Expande $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.10

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.10.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.10.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.10.1.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.10.1.3

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.10.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.10.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.10.1.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.10.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.10.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.10.3

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Paso 4.1.2.1.11

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.1.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.1.13

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $e^{- 1 - \sqrt{2}}$ y $2 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ y $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.2.3

Suma $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ y $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1 + \sqrt{2}$ en $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ es $(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Paso 4.3

Sustituye $1 - \sqrt{2}$ en $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1 - \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- (1 - \sqrt{2})} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.3.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.9

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.9.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.11

Reescribe ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.12

Expande $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.13.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.2

Multiplica $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.4

Multiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.13.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.4.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.13.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.13.3

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Paso 4.3.2.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.1.15

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.1.16

Multiplica $- - \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + 1 \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.1.16.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.1.17

Aplica la propiedad distributiva.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Suma $e^{- 1 + \sqrt{2}}$ y $2 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ y $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.2.3

Resta $2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ de $- 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1 - \sqrt{2}$ en $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ es $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}), (1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.51421356$ en la expresión.

$f'' (- 0.51421356) = {(- 0.51421356)}^{2} e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.51421356$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{0.51421356} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $0.26441558$ por $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{0.51421356} - e^{- (- 0.51421356)}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $1.02842712$ por $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{- (- 0.51421356)}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{0.51421356}$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $0.44218821$ y $1.71986213$ .

$f'' (- 0.51421356) = 2.16205035 - e^{0.51421356}$

Paso 6.2.2.2

Resta $e^{0.51421356}$ de $2.16205035$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.48972754$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.48972754$ .

$0.48972754$

Paso 6.3

En $- 0.51421356$ , la segunda derivada es $0.48972754$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ .

Incremento en $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f'' (1) = {(1)}^{2} e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1) = 1 e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $e^{- (1)}$ por $1$ .

$f'' (1) = e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (1) = e^{- 1} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- 1} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.7

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot \frac{1}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.8

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e^{1}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} + \frac{- 2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.10

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{{2.71828182}^{1}} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.11

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{2.71828182} - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.12

Divide $2$ por $2.71828182$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 1 \cdot 0.73575888 - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.13

Multiplica $- 1$ por $0.73575888$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- (1)}$

Paso 7.2.1.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- 1}$

Paso 7.2.1.15

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - \frac{1}{e^{1}}$

Paso 7.2.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{1 - 1}{e^{1}}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{0}{e^{1}}$

Paso 7.2.2.2.2

Divide $0$ por $e^{1}$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + 0$

Paso 7.2.2.2.3

Suma $- 0.73575888$ y $0$ .

$f'' (1) = - 0.73575888$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 0.73575888$ .

$- 0.73575888$

Paso 7.3

En $1$ , la segunda derivada es $- 0.73575888$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ .

Decrecimiento en $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.51421356$ en la expresión.

$f'' (2.51421356) = {(2.51421356)}^{2} e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $2.51421356$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- 2.51421356} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 (\frac{1}{e^{2.51421356}}) - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.4

Combina $6.32126983$ y $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{e^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.5

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{{2.71828182}^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.6

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{12.35688703} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.7

Divide $6.32126983$ por $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.8

Multiplica $- 2$ por $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- 2.51421356} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot \frac{1}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.11

Combina $- 5.02842712$ y $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 + \frac{- 5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.13

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{{2.71828182}^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.14

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{12.35688703} - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.15

Divide $5.02842712$ por $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 1 \cdot 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.16

Multiplica $- 1$ por $0.40693316$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Paso 8.2.1.17

Multiplica $- 1$ por $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- 2.51421356}$

Paso 8.2.1.18

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Resta $0.40693316$ de $0.51155843$ .

$f'' (2.51421356) = 0.10462527 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Paso 8.2.2.2

Resta $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ de $0.10462527$ .

$f'' (2.51421356) = 0.02369874$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.02369874$ .

$0.02369874$

Paso 8.3

En $2.51421356$ , la segunda derivada es $0.02369874$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Incremento en $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ .

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Paso 10