Cálculo Ejemplos

$y^{x y}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = y$ y $g = x y$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y \cdot y^{x y - 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 2

Multiplica $y$ por $y^{x y - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $y^{x y - 1}$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y)) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 2.2

Multiplica $y^{x y - 1}$ por $y$ .

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Paso 2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y^{1})) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y - 1 + 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 2.3

Combina los términos opuestos en $x y - 1 + 1$ .

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Paso 2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y + 0}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 2.3.2

Suma $x y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $x$ por $0$ .

$0 y^{x y} + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 4.2

Multiplica $0$ por $y^{x y}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$ .

$\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 5

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] (y^{x y} \ln (y))$

Paso 6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{x y} y^{1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{x y + 1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{x y + 1} \cdot 1 \ln (y)$

Paso 9

Multiplica $y^{x y + 1}$ por $1$ .

$y^{x y + 1} \ln (y)$