Cálculo Ejemplos

$- x y = 4 + 5 y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- x y) = \frac{d}{d x} (4 + 5 y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- (x y' + y)$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- x y' - y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + 5 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 3.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + 5 y'$

Paso 3.3

Suma $0$ y $5 y'$ .

$5 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x y' - y = 5 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $5 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' - y - 5 y' = 0$

Paso 5.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' - 5 y' = y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $- x y' - 5 y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) - 5 y' = y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- 5 y'$ .

$y' (- x) + y' \cdot - 5 = y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x) + y' \cdot - 5$ .

$y' (- x - 5) = y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (- x - 5) = y$ por $- x - 5$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (- x - 5) = y$ por $- x - 5$ .

$\frac{y' (- x - 5)}{- x - 5} = \frac{y}{- x - 5}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- x - 5$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x - 5)}{- x - 5} = \frac{y}{- x - 5}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{- x - 5}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{y}{- (x) - 5}$

Paso 5.4.3.2

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$y' = \frac{y}{- (x) - 1 (5)}$

Paso 5.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$y' = \frac{y}{- (x + 5)}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.4.3.4.1

Reescribe $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$y' = \frac{y}{- 1 (x + 5)}$

Paso 5.4.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x + 5}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x + 5}$