Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ y $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 20 x^{3} + 24 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 4.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Paso 4.1.5.2

Suma $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ y $0$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Paso 5.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$- 5 u^{2} + 12 u - 2 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 5.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.4

Sustituye los valores $a = - 5$ , $b = 12$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Paso 5.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.5.1.2.2

Multiplica $20$ por $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.5.1.3

Resta $40$ de $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.5.1.4

Reescribe $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

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Paso 5.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.5.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Paso 5.5.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Paso 5.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.6.1.2.2

Multiplica $20$ por $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.6.1.3

Resta $40$ de $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.6.1.4

Reescribe $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

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Paso 5.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Paso 5.6.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Paso 5.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}$

Paso 5.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Paso 5.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.7.1.2.2

Multiplica $20$ por $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.7.1.3

Resta $40$ de $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.7.1.4

Reescribe $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

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Paso 5.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Paso 5.7.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Paso 5.7.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Paso 5.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Paso 5.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}, \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Paso 5.9

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 2.2198039$

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Paso 5.10

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 2.2198039$

Paso 5.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.11.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2.2198039}$

Paso 5.11.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.11.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2.2198039}$

Paso 5.11.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2.2198039}$

Paso 5.11.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}$

Paso 5.12

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Paso 5.13

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.13.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 0.18019609$

Paso 5.13.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0.18019609}$

Paso 5.13.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.13.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{0.18019609}$

Paso 5.13.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{0.18019609}$

Paso 5.13.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Paso 5.14

La solución a $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ es $x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$ .

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{2.2198039}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 20 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Reescribe ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$- 20 \sqrt{{2.2198039}^{3}} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Paso 9.2

Eleva $2.2198039$ a la potencia de $3$ .

$- 20 \sqrt{10.93814891} + 24 \sqrt{2.2198039}$

Paso 10

$x = \sqrt{2.2198039}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \sqrt{2.2198039}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{2.2198039}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2.2198039}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2.2198039}) = - {(\sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Paso 11.2.1.2

Eleva $2.2198039$ a la potencia de $5$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Paso 11.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{{2.2198039}^{3}} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Paso 11.2.1.4

Eleva $2.2198039$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $- \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{2.2198039}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 20 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Paso 13

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2.2198039}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Paso 13.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Paso 13.3

Reescribe ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$- 20 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Paso 13.4

Eleva $2.2198039$ a la potencia de $3$ .

$- 20 (- \sqrt{10.93814891}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Paso 13.5

Multiplica $- 1$ por $- 20$ .

$20 \sqrt{10.93814891} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Paso 13.6

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$20 \sqrt{10.93814891} - 24 \sqrt{2.2198039}$

Paso 14

$x = - \sqrt{2.2198039}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \sqrt{2.2198039}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{2.2198039}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2.2198039}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - {(- \sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{5}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{5}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.2.3

Suma $5$ y $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.4

Multiplica ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.6

Eleva $2.2198039$ a la potencia de $5$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.7

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.9

Reescribe ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.10

Eleva $2.2198039$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{10.93814891}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Paso 15.2.1.12

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Paso 15.2.2

La respuesta final es $\sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{0.18019609}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 20 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Paso 17

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Reescribe ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$- 20 \sqrt{{0.18019609}^{3}} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Paso 17.2

Eleva $0.18019609$ a la potencia de $3$ .

$- 20 \sqrt{0.00585108} + 24 \sqrt{0.18019609}$

Paso 18

$x = \sqrt{0.18019609}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \sqrt{0.18019609}$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{0.18019609}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{0.18019609}$ en la expresión.

$f (\sqrt{0.18019609}) = - {(\sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Paso 19.2.1.2

Eleva $0.18019609$ a la potencia de $5$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Paso 19.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{{0.18019609}^{3}} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Paso 19.2.1.4

Eleva $0.18019609$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Paso 19.2.2

La respuesta final es $- \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{0.18019609}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 20 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Paso 21

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{0.18019609}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Paso 21.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Paso 21.3

Reescribe ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$- 20 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Paso 21.4

Eleva $0.18019609$ a la potencia de $3$ .

$- 20 (- \sqrt{0.00585108}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Paso 21.5

Multiplica $- 1$ por $- 20$ .

$20 \sqrt{0.00585108} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Paso 21.6

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$20 \sqrt{0.00585108} - 24 \sqrt{0.18019609}$

Paso 22

$x = - \sqrt{0.18019609}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \sqrt{0.18019609}$ es un máximo local

Paso 23

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{0.18019609}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{0.18019609}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - {(- \sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{5}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 23.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{5}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 23.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.2.3

Suma $5$ y $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.4

Multiplica ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.6

Eleva $0.18019609$ a la potencia de $5$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.7

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.9

Reescribe ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.10

Eleva $0.18019609$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{0.00585108}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Paso 23.2.1.12

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Paso 23.2.2

La respuesta final es $\sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Paso 24

Estos son los extremos locales de $f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ .

$(\sqrt{2.2198039}, - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ es un máximo local

$(- \sqrt{2.2198039}, \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ es un mínimo local

$(\sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ es un mínimo local

$(- \sqrt{0.18019609}, \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ es un máximo local

Paso 25