Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Paso 1

Escribe $\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ como una función.

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = x + 3$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = x + 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 6.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 7.2

Mueve ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 11

Combina $\sin^{2} (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sin^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Paso 13

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{2})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 14

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Paso 15.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Paso 16

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Paso 17

Aplica la regla de la constante.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Paso 18

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Paso 19

Sea $u_{3} = 2 u_{2}$ . Entonces $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 19.1

Deja $u_{3} = 2 u_{2}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 19.1.1

Diferencia $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Paso 19.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $2 u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Paso 19.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 19.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 19.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Paso 20

Combina $\cos (u_{3})$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Paso 21

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Paso 22

La integral de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sin (u_{3})$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Paso 23

Simplifica.

$4 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Paso 24

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 24.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 3$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Paso 24.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Paso 24.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 u_{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{2})) + C$

Paso 24.4

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Paso 25

Simplifica.

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Paso 25.1

Simplifica cada término.

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Paso 25.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Paso 25.1.2

Combina $\sin (4 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 25.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 25.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 25.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 25.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 25.3.3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 (x)) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 25.3.4

Cancela el factor común.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 25.3.5

Reescribe la expresión.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2} x - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 25.4

Combina $\frac{- 1}{2}$ y $x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 25.5

Multiplica $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

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Paso 25.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Paso 25.5.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Paso 25.5.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Paso 25.5.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Paso 25.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Paso 26

Reordena los términos.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$

Paso 27

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$