Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Paso 4

Sea $u = x + 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 4.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 5.2

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$3 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$3 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $3$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 9

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$