Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Paso 1.1.4.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

Paso 2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 6$ .

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Paso 2.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Paso 2.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

Paso 2.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

Paso 2.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.2.1

Simplifica ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ .

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Paso 2.5.4.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.5.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

Paso 2.5.4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Paso 2.5.4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Paso 2.5.4.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

Paso 2.5.4.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = - \frac{1}{27}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 x = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x = 0$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - \frac{1}{27}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- \frac{1}{27}$ por $x$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.5

Eleva $27$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $\frac{1}{729}$ por $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.7

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.8

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.9

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1.9.1

Reescribe $729$ como $9^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.10

Multiplica $2 (- \frac{1}{27})$ .

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Paso 4.1.2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

Paso 4.1.2.1.10.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

Paso 4.1.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $\frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

Paso 4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 2}{27}$

Paso 4.1.2.5

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{27}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

Paso 4.2.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$0 + 2 (0)$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

Paso 5