Cálculo Ejemplos

$- x y = y - 3 + 2 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- x y) = \frac{d}{d x} (y - 3 + 2 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- (x y' + y)$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- x y' - y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 3 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' + 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y' + 0 + 2 \cdot 1$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$y' + 0 + 2$

Paso 3.5

Suma $y'$ y $0$ .

$y' + 2$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x y' - y = y' + 2$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' - y - y' = 2$

Paso 5.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' - y' = 2 + y$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $- x y' - y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x) - y' = 2 + y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (- x) + y' \cdot - 1 = 2 + y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- x - 1) = 2 + y$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (- x - 1) = 2 + y$ por $- x - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (- x - 1) = 2 + y$ por $- x - 1$ .

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{2}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- x - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{2}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 + y}{- x - 1}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{2 + y}{- (x) - 1}$

Paso 5.4.3.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 + y}{- (x) - 1 (1)}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 + y}{- (x + 1)}$

Paso 5.4.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 5.4.3.5.1

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$y' = \frac{2 + y}{- 1 (x + 1)}$

Paso 5.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 + y}{x + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 + y}{x + 1}$