Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$

Paso 1

Escribe $\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ como una función.

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{2}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{15} x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $6$ y $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.2.5

Combina $\frac{12}{15}$ y $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $15$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Factoriza $3$ de $12 x^{5}$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 (4 x^{3})$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{5}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Combina $5$ y $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2.5

Combina $\frac{20}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

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Paso 2.2.2.6.1

Factoriza $5$ de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.4

Divide $4 x^{4}$ por $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Paso 2.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.4.1

Como $- 32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 32 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 (3 x^{2})$

Paso 2.2.4.3

Multiplica $3$ por $- 32$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{4}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $- 20 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) - 96 x^{2} = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $4 x^{2}$ de $- 96 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x)$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24)$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x - 24) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 5 x - 24$ con el método AC.

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Paso 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 8, 3$

Paso 3.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 x^{2} ((x - 8) (x + 3)) = 0$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 3.6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 8, - 3$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{15}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 8 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $8$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot {(8)}^{6} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $6$ .

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot 262144 - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{15} \cdot 262144$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Combina $\frac{2}{15}$ y $262144$ .

$f (8) = \frac{2 \cdot 262144}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $262144$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $5$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 1 \cdot 32768 - 8 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $32768$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 {(8)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 \cdot 4096$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $- 8$ por $4096$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 32768$

Paso 4.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.2.2.1

Escribe $- 32768$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} - 32768$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 32768}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15} - 32768$

Paso 4.3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 32768}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} - 32768$

Paso 4.3.2.2.4

Escribe $- 32768$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1}$

Paso 4.3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 32768}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Paso 4.3.2.2.6

Multiplica $\frac{- 32768}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15}$

Paso 4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (8) = \frac{524288 - 32768 \cdot 15 - 32768 \cdot 15}{15}$

Paso 4.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.4.1

Multiplica $- 32768$ por $15$ .

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 32768 \cdot 15}{15}$

Paso 4.3.2.4.2

Multiplica $- 32768$ por $15$ .

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 491520}{15}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.5.1

Resta $491520$ de $524288$ .

$f (8) = \frac{32768 - 491520}{15}$

Paso 4.3.2.5.2

Resta $491520$ de $32768$ .

$f (8) = \frac{- 458752}{15}$

Paso 4.3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (8) = - \frac{458752}{15}$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $- \frac{458752}{15}$ .

$- \frac{458752}{15}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $8$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ es $(8, - \frac{458752}{15})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(8, - \frac{458752}{15})$

Paso 4.5

Sustituye $- 3$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot {(- 3)}^{6} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $6$ .

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.5.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $729$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- 3) = \frac{2}{5} \cdot 243 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.3

Combina $\frac{2}{5}$ y $243$ .

$f (- 3) = \frac{2 \cdot 243}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.4

Multiplica $2$ por $243$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

Paso 4.5.2.1.7

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 \cdot 81$

Paso 4.5.2.1.8

Multiplica $- 8$ por $81$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 648$

Paso 4.5.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.2.1

Escribe $243$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} - 648$

Paso 4.5.2.2.2

Multiplica $\frac{243}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} \cdot \frac{5}{5} - 648$

Paso 4.5.2.2.3

Multiplica $\frac{243}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} - 648$

Paso 4.5.2.2.4

Escribe $- 648$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1}$

Paso 4.5.2.2.5

Multiplica $\frac{- 648}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.5.2.2.6

Multiplica $\frac{- 648}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{486 + 243 \cdot 5 - 648 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.4.1

Multiplica $243$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 648 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.4.2

Multiplica $- 648$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 3240}{5}$

Paso 4.5.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.5.1

Suma $486$ y $1215$ .

$f (- 3) = \frac{1701 - 3240}{5}$

Paso 4.5.2.5.2

Resta $3240$ de $1701$ .

$f (- 3) = \frac{- 1539}{5}$

Paso 4.5.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{1539}{5}$

Paso 4.5.2.6

La respuesta final es $- \frac{1539}{5}$ .

$- \frac{1539}{5}$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ es $(- 3, - \frac{1539}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, - \frac{1539}{5})$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (8, - \frac{458752}{15}), (- 3, - \frac{1539}{5})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{4} - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot 92.3521 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 \cdot - 29.791 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 \cdot 9.61$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 96$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 922.56$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $369.4084$ y $595.82$ .

$f'' (- 3.1) = 965.2284 - 922.56$

Paso 6.2.2.2

Resta $922.56$ de $965.2284$ .

$f'' (- 3.1) = 42.6684$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $42.6684$ .

$42.6684$

Paso 6.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $42.6684$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Incremento en $(- \infty, - 3)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.11.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.2

Factoriza $4$ de $- 20$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (- 5) (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.3

Factoriza $4$ de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.4

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.11.5

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 5 (\frac{- 27}{2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.12

Combina $- 5$ y $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 5 \cdot - 27}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.13

Multiplica $- 5$ por $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 7.2.1.14

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.14.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Paso 7.2.1.14.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 7.2.1.16

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.17

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{9}{2^{2}}$

Paso 7.2.1.18

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (\frac{9}{4})$

Paso 7.2.1.19

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.19.1

Factoriza $4$ de $- 96$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 (- 24) (\frac{9}{4})$

Paso 7.2.1.19.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 24 (\frac{9}{4}))$

Paso 7.2.1.19.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 24 \cdot 9$

Paso 7.2.1.20

Multiplica $- 24$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 216$

Paso 7.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Multiplica $\frac{135}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} \cdot \frac{2}{2} - 216$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $\frac{135}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 216$

Paso 7.2.2.3

Escribe $- 216$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1}$

Paso 7.2.2.4

Multiplica $\frac{- 216}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.2.5

Multiplica $\frac{- 216}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{4} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 135 \cdot 2 - 216 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

Multiplica $135$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 216 \cdot 4}{4}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $- 216$ por $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 864}{4}$

Paso 7.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Suma $81$ y $270$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{351 - 864}{4}$

Paso 7.2.5.2

Resta $864$ de $351$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 513}{4}$

Paso 7.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{513}{4}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $- \frac{513}{4}$ .

$- \frac{513}{4}$

Paso 7.3

En $- \frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $- 128.25$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 3, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 3, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 8)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Paso 8.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (4) = 4^{1 + 4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Paso 8.2.1.1.2

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (4) = 4^{5} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$f'' (4) = 1024 - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = 1024 - 20 \cdot 64 - 96 {(4)}^{2}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $64$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 {(4)}^{2}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 \cdot 16$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $- 96$ por $16$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 1536$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Resta $1280$ de $1024$ .

$f'' (4) = - 256 - 1536$

Paso 8.2.2.2

Resta $1536$ de $- 256$ .

$f'' (4) = - 1792$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 1792$ .

$- 1792$

Paso 8.3

En $4$ , la segunda derivada es $- 1792$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 8)$ .

Decrecimiento en $(0, 8)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(8, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $8.1$ en la expresión.

$f'' (8.1) = 4 {(8.1)}^{4} - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Eleva $8.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (8.1) = 4 \cdot 4304.6721 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $4$ por $4304.6721$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Paso 9.2.1.3

Eleva $8.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 \cdot 531.441 - 96 {(8.1)}^{2}$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $531.441$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 {(8.1)}^{2}$

Paso 9.2.1.5

Eleva $8.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 \cdot 65.61$

Paso 9.2.1.6

Multiplica $- 96$ por $65.61$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 6298.56$

Paso 9.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Resta $10628.82$ de $17218.6884$ .

$f'' (8.1) = 6589.8684 - 6298.56$

Paso 9.2.2.2

Resta $6298.56$ de $6589.8684$ .

$f'' (8.1) = 291.3084$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $291.3084$ .

$291.3084$

Paso 9.3

En $8.1$ , la segunda derivada es $291.3084$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(8, \infty)$ .

Incremento en $(8, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$ .

$(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$

Paso 11