Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 6 x + π$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{3} - 2 x^{2} - 6 x + π)$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2 x^{2} - 6 x + π$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{3}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} x' - 2 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$3 x^{2} x' - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} x' - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$3 x^{2} x' - 2 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' - 2 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 x^{2} x' - 4 x x' + \frac{d}{d y} [- 6 x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 6 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $y$ es $- 6 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 x^{2} x' - 4 x x' - 6 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 x^{2} x' - 4 x x' - 6 x' + \frac{d}{d y} [π]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.5.1

Como $π$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $π$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 x^{2} x' - 4 x x' - 6 x' + 0$

Paso 3.5.2

Suma $3 x^{2} x' - 4 x x' - 6 x'$ y $0$ .

$3 x^{2} x' - 4 x x' - 6 x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 3 x^{2} x' - 4 x x' - 6 x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{2} x' - 4 x x' - 6 x' = 1$ .

$3 x^{2} x' - 4 x x' - 6 x' = 1$

Paso 5.2

Factoriza $x'$ de $3 x^{2} x' - 4 x x' - 6 x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x'$ de $3 x^{2} x'$ .

$x' (3 x^{2}) - 4 x x' - 6 x' = 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $x'$ de $- 4 x x'$ .

$x' (3 x^{2}) + x' (- 4 x) - 6 x' = 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $x'$ de $- 6 x'$ .

$x' (3 x^{2}) + x' (- 4 x) + x' \cdot - 6 = 1$

Paso 5.2.4

Factoriza $x'$ de $x' (3 x^{2}) + x' (- 4 x)$ .

$x' (3 x^{2} - 4 x) + x' \cdot - 6 = 1$

Paso 5.2.5

Factoriza $x'$ de $x' (3 x^{2} - 4 x) + x' \cdot - 6$ .

$x' (3 x^{2} - 4 x - 6) = 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $x' (3 x^{2} - 4 x - 6) = 1$ por $3 x^{2} - 4 x - 6$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x' (3 x^{2} - 4 x - 6) = 1$ por $3 x^{2} - 4 x - 6$ .

$\frac{x' (3 x^{2} - 4 x - 6)}{3 x^{2} - 4 x - 6} = \frac{1}{3 x^{2} - 4 x - 6}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3 x^{2} - 4 x - 6$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (3 x^{2} - 4 x - 6)}{3 x^{2} - 4 x - 6} = \frac{1}{3 x^{2} - 4 x - 6}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{3 x^{2} - 4 x - 6}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 x^{2} - 4 x - 6}$