Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} - 6 x^{2} - 9 x - 10}{4 x^{4} - 3 x^{2} + 4 x + 7}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

Paso 2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $x$ de $- 9 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x \cdot - 9}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x \cdot - 9}{x \cdot x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

Paso 2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 2.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 6

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 8

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 10

Evalúa el límite.

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Paso 10.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 10.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 11

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 12

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 13

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Paso 14

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Paso 15

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16.1.2

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16.1.3

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16.1.4

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16.1.5

Suma $0 + 0 + 0$ y $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16.1.6

Suma $0 + 0$ y $0$ .

$\frac{0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16.1.7

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16.2

Simplifica el denominador.

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Paso 16.2.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 16.2.3

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0 + 0}$

Paso 16.2.4

Suma $4 + 0 + 0$ y $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0}$

Paso 16.2.5

Suma $4 + 0$ y $0$ .

$\frac{0}{4 + 0}$

Paso 16.2.6

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{0}{4}$

Paso 16.3

Divide $0$ por $4$ .

$0$