Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}]$ como $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $x^{5}$ como ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{4} x}}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 + \frac{1}{2}}}]$

Paso 3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Paso 3.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{4 + 1}{2}}}]$

Paso 3.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}]$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}$ como ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x + x^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + x^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 5.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 5.3.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 5.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 5.3.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 9.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 10.3

Mueve ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 11

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Paso 14

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 15

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 17

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Paso 17.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Paso 18

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Reordena los factores de $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$ .

$(1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.2

Multiplica $1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.3

Simplifica el numerador.

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Paso 19.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{2}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 19.5

Multiplica $\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

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Paso 19.5.1

Multiplica $\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2 (3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 19.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{6 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$